Pembahasan Soal-Soal Matematika ~ Get Your Dream

Contoh Pembahasan Soal Matematika Tentang Debit, Volume, Waktu
Sebuah bak mandi berbentuk kubus dengan panjang rusuk 1 m akan diisi penuh dengan air. Jika debit air 1 liter/menit, berapa lama bak mandi itu penuh?
Diketahui:
-. panjang rusuk = 1 m
-. debit = 1 liter/menit

Ditanya: waktu (t) = ...?

Jawab:
Waktu(t)=Volume(V)/Debit(D)

Volume kubus = (1 m)³ = 1 m³ = 1000 dm³ = 1000 liter
t = V/D = 1000 liter/(1 liter/menit) = 1000 menit

Jadi bak mandi tersebut akan penuh dalam waktu 1000 menit
Contoh Pembahasan Soal Matematika Tentang Debit, Volume, Waktu
Ayah membersihkan lantai rumah dari abu vulkanik letusan Gunung Kelud menggunakan air melalui selang dengan debit 90 cm³/detik selama 1,5 jam. Berapa liter air yang digunakan untuk membersihkan lantai rumah tersebut?
Diketahui:
debit (D) = 90 cm³/detik
waktu (t) = 1,5 jam = 1,5 x 3600 detik = 5400 detik

Ditanya: Volume (V) = ...?

Jawab:
V = D x t
V = 90 cm³/detik x 5400 detik
V = 486000 cm³
V = 486 dm³
V = 486 liter
Contoh Pembahasan Soal Matematika Tentang Bangun Datar
Sebuah persegi panjang luasnya 198 cm². Kelilingnya 58 cm. Berapa lebarnya?
Diketahui:
Luas persegi panjang = 198 cm²
Keliling persegi panjang = 58 cm

Ditanya:
Lebar persegi panjang (l) = ...?

Jawab:
L = p x l
p = L/l

K = 2(p + l)
K = 2(L/l + l)
58 = 2(198/l + l)
29 = 198/l + l
198/l + l - 29 = 0
198 + l² -29l = 0
l² - 29l + 198 = 0
l² - 11l - 18l +198 = 0
l(l - 11) - 18(l - 11) = 0
(l - 18) (l - 11) = 0
(l - 18) = 0 atau (l - 11) = 0
l₁ = 18 atau l₂ = 11
l₁ = 18 atau l₂ = 11

Karena lebar merupakan sisi persegi panjang yang lebih pendek, maka diambillah nilai l = 11. Jadi didapat lebar dari persegi panjang tersebut adalah 11 cm
Contoh Pembahasan Soal Matematika Tentang Bangun Datar
Diketahui layang layang PQRS dengan panjang diagonal PR=8cm dan QS=(x+1)cm.Jika luas layang layang PQRS 48cm² maka nilai x adalah...
a. 5
b. 7
c. 9
d.11
Pembahasan:
Luas layang-layang = 0,5.diagonal1.diagonal2
48=0,5(8)(x+1)
48=4(x+1)
12=x+1
x=12-1
x=11
Jawaban: c. 9
Contoh Pembahasan Soal Matematika Tentang Bangun Datar
Mencari luas daerah yang diarsir:

Diketahui:
AE = EB, CF = FD
BC = 15 cm
CH = 8 cm
DH = 14 cm
GH = 7 cm
GH tegak lurus terhadap CD

Ditanya:
Luas daerah yang diarsir = ... ?

Jawab:
Mencari Luas Segitiga ADG
Tinggi segitiga ADG = DH = 14 cm
Panjang AD = BC = 15 cm

L_{segitiga ADG} = (a x t)/2
= (AD x DH)/2
= (15 x 14)/2
= 105 cm²

Mencari Luas Segitiga CFG
Alas segitiga CFG = CF = (14 + 8)/2 = 22/2 = 11 cm
Tinggi segitiga CFG = GH = 7 cm

L_{segitiga CFG} = (a x t)/2
= (11 x 7)/2
= 38,5 cm ²

Mencari Luas Segitiga BEG
Alas segitiga BEG = BE = 11 cm
Tinggi segitiga BEG = 15 - 7 = 8 cm

L_{segitiga BEG} = (a x t)/2
= (11 x 8)/2
= 44 cm ²

Mencari luas persegi panjang ABCD
L_{persegi panjang ABCD} = p x l
= AB x BC
= 22 x 15
= 330 cm ²

Luas daerah yang diarsir = L_{persegi panjang ABCD} - L_{segitiga ADG} - L_{segitiga CFG} - L_{segitiga BEG}
= 330 - 105 - 38,5 - 44
= 142,5 cm ²

Jadi luas daerah yang diarsir adalah 142,5 cm ²

Contoh Pembahasan Soal Matematika Tentang Limit Berbentuk Pecahan Dengan Penyebut Merupakan Bilangan Dalam Bentuk Akar:

limit (2x-4)/(3-(x^2+5)^0.5) untuk x mendekati 2 adalah:
limit (2x-4)/(3-(x^2+5)^0,5) untuk x mendekati 2 adalah:

limit (2x-4)/(3-(x²+5)^0.5) untuk x mendekati 2 adalah:
limit (2x-4)/(3-(x²+5)^0,5) untuk x mendekati 2 adalah:

Contoh Pembahasan Soal Matematika Tentang Limit Berbentuk Pecahan Dengan Penyebut Merupakan Bilangan Dalam Bentuk Akar:

limit (9-x^2)/(4-V(x^2+7)) untuk x mendekati 3 adalah:
limit (9-x^2)/(4-sqrt(x^2+7)) untuk x mendekati 3 adalah:
limit x mendekati 3 dari (9-x^2)/(4-V(x^2+7)) untuk adalah:
limit x mendekati 3 dari (9-x^2)/(4-sqrt(x^2+7)) adalah:

Contoh Pembahasan Soal Matematika Tentang Turunan Fungsi Yang Berbentuk Perkalian Fungsi Atau Pembagian Fungsi (Berbentuk Pecahan):

Jika f(x) = [x² cos(x)]/[x² - 4] maka f'(x) = ...?

Pembahasan:
Ingat kembali rumus turunan fungsi yang berbentuk perkalian fungsi dan pembagian fungsi (berbentuk pecahan)

f(x) = g(x)/h(x) maka

f'(x) = ([g'(x) h(x))-(h'(x) g(x)])/([h(x)]²)

Pada soal:
f(x) = [x² cos(x)]/[x² - 4]
misalkan:
g(x) = x² cos(x)
h(x) = x² - 4

Mencari turunan g(x) = x² cos(x)
misalkan:
g₁'(x) = x²
g₂'(x) = cos(x)
maka:
g'(x) = g₁'(x) g₂(x) + g₂'(x) g₁(x)
g'(x) = 2x xos(x) + -sin(x) x²
g'(x) = 2x cos(x) - x² sin(x)

Mencari turuanan h(x) = x² - 4
h'(x) = 2x

Mencari turunan f(x) = [x² cos(x)]/[x² - 4]

Contoh Pembahasan Soal Matematika Mencari Turunan Fungsi Trigonometri
Turunan pertama dari y = sin (1/x) ?
Pembahasan:
Untuk mencari turunan dari sin (FUNGSI) maka diturunkan terlebih dahulu sin itu sendiri kemudian diturunkan lagi FUNGSI nya. Turunan sin (FUNGSI) adalah cos (FUNGSI) dan kemudian dicari lagi turunan FUNGSI nya. Pada contoh ini FUNGSI nya adalah 1/x.

Contoh Pembahasan Soal Matematika Tentang Turunan Fungsi Trigonemotri
Jika f(x) = a tan(x) + bx, dan f'(π/4) = 3 dan f'(π/3) = 9, maka a+b = …
Pembahasan:
Jika f(x) = tan(x) maka f'(x) = sec²(x)
sec(x) = 1/cos(x)

Dari persamaan (1) dan (2) didapat:

a + b = 3 - 3 = 0

Jadi didapat nilai dari a + b adalah 0
Contoh Pembahasan Soal Matematika Tentang Segitiga dan Trigonometri, Mencari Besar Sudut-sudut Segitiga Jika Diketahui Panjang Ketiga Sisinya:

Hitung sudut terbesar dari segitiga ABC bila sisi-sisinya 7 cm, 5 cm, dan 3 cm!

Pembahasan:
Jika sebuah segitiga sembarang:

maka sisi di hadapan sudut A disepakati disebut a
maka sisi di hadapan sudut B disepakati disebut b
maka sisi di hadapan sudut C disepakati disebut c

Rumus mencari luas segitiga jika diketahui panjang ketiga sisi segitiga tersebut adalah:

dengan s = (a+b+c)/2

Misalkan penentuan sisi-sisi segitiganya sebagai berikut:

a = 5 cm
b = 3 m
c = 7 cm

maka
s = (a + b + c)/2
s = (5 + 3 + 7)/2
s = 15/2
s = 7,5

Luas segitiga juga dapat dicari jika diketahui besar salah satu sudut segitiganya dan sisi-sisi yang mengapit sudut tersebut dengan menggunakan rumus:
Luas segitiga = (ab sin(C))/2 atau
Luas segitiga = (ac sin(B))/2 atau
Luas segitiga = (bc sin(A))/2

Sudut terbesar dalam sebuah segitiga adalah sudut yang sisi di hadapannya paling panjang. Sisi yang paling panjang pada segitiga ini adalah 7 cm, dan terletak di hadapan sudut C, maka sudut C lah yang merupakan sudut terbesar dalam segitiga ini.

Dengan menggunakan nilai luas segitiga yang sudah didapat tadi, dapat dibuat persamaan:

*Kalau soal yang bagus biasanya angkanya bagus dan enak untuk dikerjakan, hehe... :D :)
*Jika kita anggap C adalah sudut istimewa, maka nilai sinus sudut istimewa yang berbentuk pecahan, penyebutnya selalu bernilai 2, selanjutnya akan kita usahakan sedemikian rupa agar penyebutnya bernilai 2:

Jadi sudut terbesar pada segitiga yang panjang sisi-sisinya 7 cm, 5 cm, dan 3 cm adalah 120^o
Contoh Pembahasan Soal Matematika Tentang Persamaan Kuadrat

Seorang petani memiliki kebun berbentuk persegi panjang dengan luas 100 m². Petani tersebut memasang pagar kawat di sekeliling kebunnya dan di tengah kebun sehingga kebun tersebut terbagi menjadi dua persegi panjang yang memiliki luas yang sama. Jika panjang pagar kawat yang tersedia adalah 55 m, maka panjang dan lebar kebun tersebut adalah ... m.

Pemebahasan:
Pagar kawat yang dipasang di tengah kebun mempunyai dua kemungkinan, kemungkinan pertama adalah membagi dua menurut ukuran panjang kebun, sedangkan kemungkinan kedua adalah membagi dua menurut ukuran lebar kebun.

Asumsi 1
Jika dianggap pagar kawat yang dipasang di tengah kebun membagi dua menurut ukuran panjang kebun:

Dari hasil diambillah nilai panjang 40/3 meter dan lebar 15/2 meter, karena jika diambil nilai panjang 5 meter dan lebar 20 meter, tidak mungkin panjang kebun lebih pendek dari lebar kebun. Jadi panjang kebun adalah 40/3 meter dan lebar kebun adalah 15/2 meter.

Asumsi 2
Jika dianggap pagar kawat yang dipasang di tengah kebun membagi dua menurut ukuran panjang kebun:

Dari hasil diambillah nilai panjang 20 meter dan lebar 1 meter, karena jika diambil nilai panjang 15/2 meter dan lebar 40/3 meter, tidak mungkin panjang kebun lebih pendek dari lebar kebun. Jadi panjang kebun adalah 20 meter dan lebar kebun adalah 5 meter.

Contoh Pembahasan Soal Matematika Tentang Jarak, Waktu, dan Kecepatan
Tiga puluh orang pekerja dapat menyelesaikan pekerjaan dalam waktu 60 hari. Setelah 30 hari bekerja, pekerjaan terhenti selama 15 hari. Jika pekerjaan itu harus selesai tepat waktu sesuai jadwal, maka banyak pekerja yang perlu ditambahkan adalah ... orang.
Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini kita menggunakan konsep "jarak, waktu, dan kecepatan" dan konsep perbandingan

Kita akan memisalkan banyaknya pekerjaan sebagai jarak, maka kecepatan adalah banyak pekerjaan yang dapat diselesaikan per satuan waktu. Kita akan memisalkan banyaknya pekerjaan dengan sebuah nilai a, kecepatan dengan sebuah nilai b.

Misalkan:
s_total=a pekerjaan
v=b pekerjaan/hari
t_total=60 hari

v=s_total/t_total
b=a/60

karena sudah bekerja selama 30 hari, maka pekerjaan yang sudah terselesaikan (s_selesai) adalah:
s=v.t
s=(a/60)30
s=0.5a

banyak pekerjaan yang belum terselesaikan(s_sisa):
s_sisa=s_total-s_selesai
s_sisa=a-0.5a
s_sisa=0.5a

karena pekerjaan terhenti selama 15 hari mulai dari hari ke-31, maka banyak waktu yang tersisa adalah:
60-30-15=15 hari.

Agar pekerjaan sebanyak 0.5a dapat selesai dalam waktu 15 hari maka dibutuhkan kecepatan bekerja sebesar:
v=s/t
v=0.5a/15
v=a/30
v=2(a/60)
v=2b

Jika kecepatan b dilakukan oleh 30 orang, maka kecepatan 2b dibutuhkan:
b/30=2b/n
1/30=2/n
n=2x30
n=60

dibutuhkan 60 orang untuk menyelesaikan pekerjaan sebanyak 0.5a dalam waktu 15 hari, sementara banyak pekerja yang tersedia adalah 30 orang, maka banyak tambahan pekerja yang diperlukan adalah: 60-30=30 orang.

Jadi banyak pekerja yang perlu ditambahkan adalah 30 orang

Contoh Pembahasan Soal Matematika Tentang Bagun Ruang
Jika volume bola A adalah 32π cm³ dan volume bola B adalah 108π cm³, maka perbandingan jari-jari bola A dan jari-jari bola B adalah ... : ... (catatan: gunakan π = 22/7).
Pembahasan:
Diketahui:
V_{bola 1} = 32π cm³
V_{bola 2} = 108π cm³

Ditanya:
r₁ : r₂ = ... ?

Jawab:

Jadi perbandingan jari-jari bola A dan jari-jari bola B adalah 2:3
Contoh Pembahasan Soal Matematika Tentang KPK

Kegiatan kerja bakti di Desa Sukamaju dilakukan secara rutin. RT 01 melakukan kerja bakti setiap 12 hari sekali, RT 02 setiap 10 hari sekali dan RT 03 setiap 8 hari. Pada tanggal 20 Desember 2015 kerja bakti serentak dilaksanakan di seluruh RT. Kerja bakti tersebut akan dilaksanakan bersamaan kembali pada tanggal...
Pembahasan:

KPK dari 12, 10, dan 8 adalah 120
20 Desember 2015 + 120 hari ?
Desember 205 ada 31 hari, maka sampai 31 Desember 2015 terpakai 31-20 = 11 hari (sisa = 120-11 = 109 hari)
Januari 2016 ada 31 hari, maka sampai 31 Januari 2016 terpakai 31 hari (sisa = 109-31 = 78 hari)
Februari 2016 ada 29 hari, maka sampai tanggal 29 Feberuari 2016 terpakai 29 hari (sisa = 78-29 = 49 hari)
Maret 2016 ada 31 hari, maka sampai tanggal 31 Maret terpakai 31 hari (sisa = 49-31 = 18 hari)
18 hari tersisa untuk bulan April 2016.
Jadi seluruh RT tersebut akan melaksanakan kerja bakti serentak kembali pada tanggal 18 April 2016
Contoh Pembahasan Soal Matematika Tentang Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Mencari himpunan penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan nilai mutlak |3x-1|+|x|+|x-1|>=3

Pembahasan:

Akan digunakan salah satu sifat pertidaksamaan nilai mutlak:
|x|=x, jika x>=0
|x|=-x, jika x<0

Kemungkinan penyelesaian untuk |3x-1|+|x|+|x-1|>=3 adalah:
1. (3x-1)+(x)+(x-1)>=3
2. (3x-1)+(x)-(x-1)>=3
3. (3x-1)-(x)+(x-1)>=3
4. (3x-1)-(x)-(x-1)>=3
5. -(3x-1)+(x)+(x-1)>=3
6. -(3x-1)+(x)-(x-1)>=3
7. -(3x-1)-(x)+(x-1)>=3
8. -(3x-1)-(x)-(x-1)>=3
Akan dicoba satu persatu...
1. (3x-1)+(x)+(x-1)>=3
  3x-1+x+x-1>=3
  5x-5>=0
  5(x-1)>=0
  x-1>=0
  x>=1
  
  Subst. x>=1 ke |3x-1|+|x|+|x-1| untuk memeriksa apakah x>=1 memenuhi pertidaksamaan |3x-1|+|x|+|x-1|>=3
  - Untuk x=1
    |3x-1|+|x|+|x-1|
    =|3(1)-1|+|1|+|1-1|
    =|2|+|1|+|0|
    =2+1+0
    =3
    (*) x=1 memenuhi untuk |3x-1|+|x|+|x-1|=3
  - Untuk x>1 (misal x=2)
    |3x-1|+|x|+|x-1|
    =|3(2)-1|+|2|+|2-1|
    =|5|+|2|+|1|
    =5+2+1
    =8>3
    (**) x>3 memenuhi untuk |3x-1|+|x|+|x-1|>3
  Dari (*) dan (**) dapat dibuktikan bahwa x>=1 memenuhi untuk |3x-1|+|x|+|x-1|>=3
2. (3x-1)+(x)-(x-1)>=3
  3x-1+x-x+1>=3
  3x-3>=0
  3(x-1)>=0
  x-1>=0
  x>=1
  Memberikan himpunan penyelesaian yang sama dengan poin (1)
3. (3x-1)-(x)+(x-1)>=3
  3x-1-x+x-1>=3
  3x>=5
  x>=5/3
  
  Subst. x>=5/3 ke |3x-1|+|x|+|x-1| untuk memeriksa apakah x>=5/3 memenuhi pertidaksamaan |3x-1|+|x|+|x-1|>=3
  - Untuk x=5/3
    |3x-1|+|x|+|x-1|
    =|3(5/3)-1|+|5/3|+|5/3-1|>br/> =|4|+||5/3|+|2/3|
    =4+5/3+2/3
    =19/3 ≠ 3
    Tidak memenuhi untuk |3x-1|+|x|+|x-1| bernilai 3, sehingga x>=5/3 tidak merupakan himpunan penyelesaian
4. (3x-1)-(x)-(x-1)>=3
  3x-1-x-x+1>=3
  x>=3
  
  Subst. x>=3 ke |3x-1|+|x|+|x-1| untuk memeriksa apakah x>=1 memenuhi pertidaksamaan |3x-1|+|x|+|x-1|>=3
  - Untuk x=3
    |3x-1|+|x|+|x-1|
    =|3(3)-1|+|3|+|3-1|
    =|8|+|3|+|2|
    =8+3+2
    =13
    Tidak memenuhi untuk |3x-1|+|x|+|x-1| bernilai 3, sehingga x>=3 tidak merupakan himpunan penyelesaian
5. -(3x-1)+(x)+(x-1)>=3
  -3x+1+x+x-1>=3
  -x>=3
  x<=-3
  Dari poin (4) seudah dibuktikan bahwa x=3 tidak memenuhi pertidaksamaan |3x-1|+|x|+|x-1| bernilai 3, sehingga x<=3 tidak merupakan himpunan penyelesaian
6. -(3x-1)+(x)-(x-1)>=3
  -3x+1+x-x+1>=3
  -3x>=1
  -x>=1/3
  x<=-1/3
  
  Subst. x<=-1/3 ke |3x-1|+|x|+|x-1| untuk memeriksa apakah x<=-1/3 memenuhi pertidaksamaan |3x-1|+|x|+|x-1|>=3
  - Untuk x=-1/3
    |3x-1|+|x|+|x-1|
    =|3(-1/3)-1|+|-1/3|+|-1/3-1|
    =|-2|+|-1/3|+|-4/3|
    =2+1/3+4/3
    =11/3 ≠ 3
    Tidak memenuhi untuk |3x-1|+|x|+|x-1| bernilai 3, sehingga x<=-1/3 tidak merupakan himpunan penyelesaian
7. -(3x-1)-(x)+(x-1)>=3
  -3x+1-x+x-1>=3
  -3x-3>=0
  -3(x+1)>=0
  -(x+1)>=0
  x+1<=0
  x<=-1
  
  Subst. x<=-1 ke |3x-1|+|x|+|x-1| untuk memeriksa apakah x<=-1/3 memenuhi pertidaksamaan |3x-1|+|x|+|x-1|>=3
  - Untuk x=-1
    |3x-1|+|x|+|x-1|
    =|3(-1)-1|+|-1|+|-1-1|
    =|-4|+|-1|+|-2|
    =4+1+2
    =7 ≠ 3
    Tidak memenuhi untuk |3x-1|+|x|+|x-1| bernilai 3, sehingga x<=-1 tidak merupakan himpunan penyelesaian
8. -(3x-1)-(x)-(x-1)>=3
  -3x+1-x-x+1>=3
  -5x>=1
  -x>=1/5
  x<=-1/5
  
  Subst. x<=-1/5 ke |3x-1|+|x|+|x-1| untuk memeriksa apakah x<=-1/3 memenuhi pertidaksamaan |3x-1|+|x|+|x-1|>=3
  - Untuk x=-1/5
    |3x-1|+|x|+|x-1|
    =|3(-1/5)-1|+|-1/5|+|-1/5-1|
    =8/5+1/5+6/5
    =15/5
    =3
    (*) x=-1/5 memenuhi untuk |3x-1|+|x|+|x-1|=3
  - Untuk x<-1/5 (misal ambil x=-1)
    |3x-1|+|x|+|x-1|
    =|3(-1)-1|+|-1|+|-1-1|
    =|-4|+|-1|+|-2|
    =4+1+2
    =7 > 3
    (**) x<-1/5 memenuhi untuk |3x-1|+|x|+|x-1|>3