Logika Matematika

1. Ingkaran atau negasi
   Adalah pernyataan yang memiliki nilai kebenaran yang berlawanan dengan pernyataan semula. Misalkan suatu pernyataan disimbolkan dengan p, maka ingkaran p atau negasi p ditulis dengan simbol ~p. Jika p bernilai benar maka ~p bernilai salah, sebaliknya jika p bernilai salah maka ~p bernilai benar.
   Contoh:
   p=Nabi Isa adalah utusan Allah
   maka
   ~p=Nabi Isa bukan utusan Allah
   
   p=Semua mobil rodanya 4
   ~p=Ada mobil yang rodanya tidak 4
   
   
2. Disjungsi
   Adalah pernyataan majemuk yang dihubungkan oleh kata hubung atau, misalkan p dan q adalah masing-masing sebuah pernyataan, maka p atau q ditulis p v q. Dari berbagai contoh kalimat disjungsi, saya pribadi menilai (mohon koreksi kalah salah) untuk memahami disjungsi ini selalu berangkat dari dua pernyataan yang bernilai benar atau yang dinilai benar.
   
   Contoh kalimat disjungsi dari dua pernyataan yang bernilai benar:
   3 merupakan bilangan ganjil atau bilangan prima
   1. Jika p bernilai benar dan q juga bernilai benar
      Contoh:
      p = 3 merupakan bilangan ganjil (pernyataan yang benar)
      q = 3 merupakan bilangan prima (pernyataan yang benar)
      pvq= 3 merupakan bilangan ganjil atau bilangan prima
      
      Pada kasus ini, jika kita pahami pernyataan pvq adalah pernyataan yang benar secara logika, maka didapat suatu kesimpulan jika p bernilai benar dan q bernilai benar, maka pvq juga bernilai benar.
   
   
   2. Jika p bernilai benar dan q bernilai salah
      Contoh:
      p = 3 merupakan bilangan ganjil (pernyataan yang benar)
      q = 3 merupakan bilangan yang habis dibagi 2 (pernyataan yang salah)
      pvq = 3 merupakan bilangan ganjil atau bilangan yang habis dibagi 2
      
      Pada kasus ini, jika kita pahami pernyataan pvq masih termasuk pernyataan yang benar secara logika, karena 'atau' adalah memilih salah satu dan ada salah satu yang benar yang dapat dipilih dari pvq, maka didapat suatu kesimpulan jika p bernilai benar dan q bernilai salah, maka pvq bernilai benar.
   
   
   3. Jika p bernilai salah dan q bernilai benar
      Contoh:
      p = 3 merupakan bilangan genap (pernyataan yang salah)
      q = 3 merupakan bilangan prima (pernyataan yang benar)
      pvq = 3 merupakan bilangan genap atau bilangan prima
      
      Pada kasus ini, jika kita pahami pernyataan pvq masih termasuk pernyataan yang benar secara logika, karena 'atau' adalah memilih salah satu dan ada salah satu yang benar yang dapat dipilih dari pvq, maka didapat suatu kesimpulan jika p bernilai salah dan q bernilai benar, maka pvq bernilai benar.
   
   
   4. Jika p bernilai salah dan q bernilai salah
      Contoh:
      p = 3 merupakan bilangan genap (pernyataan yang salah)
      q = 3 merupakan bilangan yang habis dibagi 2 (pernyataan yang salah)
      pvq = 3 merupakan bilangan genap atau bilangan yang habis dibagi 2
      
      Pada kasus ini, jika kita pahami pernyataan pvq adalah pernyataan yang salah secara logika, karena 'atau' adalah memilih salah satu dan tidak ada satu pernyataan pun yang benar yang dapat dipilih dari pvq, maka didapat suatu kesimpulan jika p bernilai salah dan q bernilai salah, maka pvq juga bernilai salah.
   
   Jika B = benar dan S = salah, dari 4 kasus yang tersedia itu dapat dibuat tabel kebenaran pvq sebagai berikut:
   

   p	q	pvq
   B	B	B
   B	S	B
   S	B	B
   S	S	S



3. Konjungsi
   Adalah pernyataan majemuk yang dihubungkan oleh kata hubung dan, misalkan p dan q adalah masing-masing sebuah pernyataan, maka p dan q ditulis p ^ q. Dari berbagai contoh kalimat konjungsi, saya pribadi menilai (mohon koreksi kalah salah) untuk memahami konjungsi ini selalu berangkat dari dua pernyataan yang bernilai benar atau yang dianggap benar.
   
   Contoh kalimat konjungsi dari dua pernyataan yang bernilai benar:
   3 merupakan bilangan ganjil dan bilangan prima
   1. Jika p bernilai benar dan q juga bernilai benar
      Contoh:
      p = 3 merupakan bilangan ganjil (pernyataan yang benar)
      q = 3 merupakan bilangan prima (pernyataan yang benar)
      p^q= 3 merupakan bilangan ganjil dan bilangan prima
      
      Pada kasus ini, jika kita pahami pernyataan p^q adalah pernyataan yang benar secara logika, maka didapat suatu kesimpulan jika p bernilai benar dan q bernilai benar, maka p^q juga bernilai benar.
   
   
   2. Jika p bernilai benar dan q bernilai salah
      Contoh:
      p = 3 merupakan bilangan prima (pernyataan yang benar)
      q = 3 merupakan bilangan yang habis dibagi 2 (pernyataan yang salah)
      p^q = 3 merupakan bilangan prima dan bilangan yang habis dibagi 2
      
      Pada kasus ini, jika kita pahami pernyataan p^q adalah pernyataan yang salah secara logika, karena 'dan' adalah mengambil semuanya (semua pernyataan), jika dalam satu kalimat ada dua pernyataan, maka kalimat tersebut akan bernilai benar kalau kedua pernyataan tersebut memang benar, maka didapat suatu kesimpulan jika p bernilai benar dan q bernilai salah, maka p^q bernilai salah.
   
   
   3. Jika p bernilai salah dan q bernilai benar
      Contoh:
      p = 3 merupakan bilangan yang habis dibagi 2 (pernyataan yang salah)
      q = 3 merupakan bilangan prima (pernyataan yang benar)
      p^q = 3 merupakan bilangan yang habis dibagi 2 dan bilangan ganjil
      
      Pada kasus ini, jika kita pahami pernyataan p^q adalah pernyataan yang salah secara logika, karena 'dan' adalah mengambil semuanya (semua pernyataan), jika dalam satu kalimat ada dua pernyataan, maka kalimat tersebut akan bernilai benar kalau kedua pernyataan tersebut memang benar, maka didapat suatu kesimpulan jika p bernilai salah dan q bernilai benar, maka p^q bernilai salah.
   
   
   4. Jika p bernilai salah dan q juga bernilai salah
      Contoh:
      p = 3 merupakan bilangan genap (pernyataan yang salah)
      q = 3 merupakan bilangan yang habis dibagi 2 (pernyataan yang salah)
      p^q = 3 merupakan bilangan genap dan bilangan yang habis dibagi 2
      
      Pada kasus ini, jika kita pahami pernyataan p^q adalah pernyataan yang salah secara logika, karena 'dan' adalah mengambil semuanya (semua pernyataan), jika dalam satu kalimat ada dua pernyataan, maka kalimat tersebut akan bernilai benar kalau kedua pernyataan tersebut memang benar, maka didapat suatu kesimpulan jika p bernilai salah dan q juga bernilai salah, maka p^q bernilai salah.
   
   Jika B = benar dan S = salah, dari 4 kasus yang tersedia itu dapat dibuat tabel kebenaran p^q sebagai berikut:
   

   p	q	pvq
   B	B	B
   B	S	S
   S	B	S
   S	S	S



4. Implikasi
   Pernyataan majemuk yang dihubungkan oleh kata hubung "jika" dan "maka". "Jika" p, "maka" q. Dari berbagai contoh kalimat implikasi, saya pribadi menilai (mohon koreksi kalah salah) untuk memahami implikasi ini selalu berangkat dari dua pernyataan yang benar atau yang dinilai benar.
   
   Contoh kalimat implikasi dari dua pernyataan yang dinilai benar:
   Jika cuaca cerah, maka Adi bermain bola
   
   1. p = Cuaca cerah (pernyataan yang dinilai benar)
      q = Adi bermain bola (pernyataan yang dinilai benar)
      p->q = Jika cuaca cerah, maka Adi bermain bola
      
      Pada kasus ini dapat dengan mudah dipahami kalau p->q bernilai benar
   
   
   2. p = Cuaca cerah (pernyataan yang dinilai benar)
      q = Adi tidak bermain bola (pernyataan yang dinilai salah)
      p->q = Jika cuaca cerah, maka Adi tidak bermain bola
      
      Pada kasus ini p->q bernilai salah, karena pada awalnya sudah dikatakan jika cuaca cerah maka Adi bermain bola, sementara ini cuaca cerah tapi Adi tidak bermain bola, maka p->q pada kasus ini bernilai salah.
   
   
   3. p = Cuaca tidak cerah (pernyataan yang dinilai salah)
      q = Adi bermain bola (pernyataan yang dinilai benar)
      p->q = Jika cuaca tidak cerah, maka Adi bermain bola
      
      Pada kasus ini p->q bernilai benar, cara memahaminya adalah karena bisa saja cuaca sedikit mendung, maka Adi juga bermain bola.
   
   
   4. p = Cuaca tidak cerah (pernyataan yang dinilai salah)
      q = Adi tidak bermain bola (pernyataan yang dinilai salah)
      p->q = Jika cuaca tidak cerah, maka Adi tidak bermain bola
      
      Pada kasus ini p->q bernilai benar, cara memahaminya adalah karena bisa saja jika cuaca hujan lebat disertai petir, maka jadinya Adi tidak bermain bola.
   
   Ada juga yang membuat tips untuk memudahkan kita memahami implikasi, yaitu implikasi ini ibaratkan banyak jalan searah dari suatu titik menuju satu titik tertentu.
   
   Jika B = benar dan S = salah, dari 4 kasus yang tersedia itu dapat dibuat tabel kebenaran p->q sebagai berikut:
   

   p	q	pvq
   B	B	B
   B	S	S
   S	B	B
   S	S	B



5. Biimplikasi
   Pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata hubung jika dan hanya jika. p jika dan hanya jika q. Dari berbagai contoh kalimat implikasi, saya pribadi menilai (mohon koreksi kalah salah) untuk memahami biimplikasi ini selalu berangkat dari dua pernyataan yang benar atau yang dinilai benar.
   
   Contoh kalimat biimplikasi dari dua pernyataan yang dinilai benar:
   Irsyad akan mendapatkan nilai yang tinggi jika dan hanya jika dia belajar dengan rajin.
   
   1. p = Irsyad akan mendapatkan nilai yang tinggi (pernyataan yang dinilai benar)
      q = Irsyad belajar dengan rajin (pernyataan yang dinilai benar)
      p<->q = Irsyad akan mendapatkan nilai yang tinggi jika dan hanya jika dia belajar dengan rajin
      
      Pada kasus ini dapat dengan mudah dipahami bahwa p<->q bernilai benar
      
      
   2. p = Irsyad akan mendapatkan nilai yang tinggi (pernyataan yang dinilai benar)
      q = Irsyad belajar dengan malas (pernyataan yang dinilai salah)
      p<->q = Irsyad akan mendapatkan nilai yang tinggi jika dan hanya jika dia belajar dengan malas
      
      Pada kasus ini dapat dengan mudah dipahami bahwa p<->q bernilai salah
      
      
   3. p = Irsyad akan mendapatkan nilai yang rendah (pernyataan yang dinilai salah)
      q = Irsyad belajar dengan rajin (pernyataan yang dinilai benar)
      p<->q = Irsyad akan mendapatkan nilai yang rendah jika dan hanya jika dia belajar dengan rajin
      
      Pada kasus ini dapat dengan mudah dipahami bahwa p<->q bernilai salah
      
      
   4. p = Irsyad akan mendapatkan nilai yang rendah (pernyataan yang dinilai salah)
      q = Irsyad belajar dengan malas (pernyataan yang dinilai benar)
      p<->q = Irsyad akan mendapatkan nilai yang rendah jika dan hanya jika dia belajar dengan malas
      
      Pada kasus ini dapat dengan mudah dipahami bahwa p<->q bernilai benar
      
   
   Jika B = benar dan S = salah, dari 4 kasus yang tersedia itu dapat dibuat tabel kebenaran p<->q sebagai berikut:
   

   p	q	pvq
   B	B	B
   B	S	S
   S	S	B

Hukumhukum logika proposisi
p v S ≡ p p ^ B ≡ p	Hukum identitas
p ^ S ≡ S p v B ≡ B	Hukum dominasi
p v -p ≡ B p ^ -p ≡ S	Hukum negasi
p v -p ≡ B p ^ -p ≡ S	Hukum negasi
p v p ≡ p p ^ p ≡ p	Hukum idempoten
p v (p ^ p) ≡ p p ^ (p v p) ≡ p	Hukum penyerapan (absorpsi)
- (p ^ q) ≡ -p v -q - (p v p) ≡ -p ^ -q	Hukum de morgan
(p ^ q) ≡ q ^ p (p v q) ≡ q v p	Hukum komutatif
(p ^ q) ^ r ≡ p ^ (q ^ r) (p v q) v r ≡ p v (q v r)	Hukum assosiatif
p ^ (q v r) ≡ (p ^ q) v (p ^ r) p v (q ^ r) ≡ (p v q) ^ (p v r)	Hukum distributif
- (-p) ≡ p	Hukum double negasi
p -> q ≡ -q -> -p	Hukum transposisi
p -> q ≡ -p v q	Hukum material implikasi
p <=> q ≡ (p -> q) ^ (q -> p) p <=> q ≡ (p ^ q) v (-p ^ -q)	Hukum material ekivalen
(p ^ q) -> r ≡ p -> (q -> r)	Hukum eksportasi
p ≡ (p v p) p ≡ (p ^ p)	Hukum tautologi

Sumber:
Terimaasih kepada https://danioyo.wordpress.com/2017/02/05/hukum-hukum-logika-proposisi/

Posted in: