Contoh Pembahasan Soal Matematika Tentang Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Mencari himpunan penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan nilai mutlak |3x-1|+|x|+|x-1|>=3

Pembahasan:

Akan digunakan salah satu sifat pertidaksamaan nilai mutlak:
|x|=x, jika x>=0
|x|=-x, jika x<0

Kemungkinan penyelesaian untuk |3x-1|+|x|+|x-1|>=3 adalah:

1. (3x-1)+(x)+(x-1)>=3
2. (3x-1)+(x)-(x-1)>=3
3. (3x-1)-(x)+(x-1)>=3
4. (3x-1)-(x)-(x-1)>=3
5. -(3x-1)+(x)+(x-1)>=3
6. -(3x-1)+(x)-(x-1)>=3
7. -(3x-1)-(x)+(x-1)>=3
8. -(3x-1)-(x)-(x-1)>=3

Akan dicoba satu persatu...

1. (3x-1)+(x)+(x-1)>=3
   3x-1+x+x-1>=3
   5x-5>=0
   5(x-1)>=0
   x-1>=0
   x>=1
   
   Subst. x>=1 ke |3x-1|+|x|+|x-1| untuk memeriksa apakah x>=1 memenuhi pertidaksamaan |3x-1|+|x|+|x-1|>=3
   
   • Untuk x=1
     |3x-1|+|x|+|x-1|
     =|3(1)-1|+|1|+|1-1|
     =|2|+|1|+|0|
     =2+1+0
     =3
     (*) x=1 memenuhi untuk |3x-1|+|x|+|x-1|=3
   • Untuk x>1 (misal x=2)
     |3x-1|+|x|+|x-1|
     =|3(2)-1|+|2|+|2-1|
     =|5|+|2|+|1|
     =5+2+1
     =8>3
     (**) x>3 memenuhi untuk |3x-1|+|x|+|x-1|>3
   Dari (*) dan (**) dapat dibuktikan bahwa x>=1 memenuhi untuk |3x-1|+|x|+|x-1|>=3


2. (3x-1)+(x)-(x-1)>=3
   3x-1+x-x+1>=3
   3x-3>=0
   3(x-1)>=0
   x-1>=0
   x>=1
   Memberikan himpunan penyelesaian yang sama dengan poin (1)


3. (3x-1)-(x)+(x-1)>=3
   3x-1-x+x-1>=3
   3x>=5
   x>=5/3
   
   Subst. x>=5/3 ke |3x-1|+|x|+|x-1| untuk memeriksa apakah x>=5/3 memenuhi pertidaksamaan |3x-1|+|x|+|x-1|>=3
   
   • Untuk x=5/3
     |3x-1|+|x|+|x-1|
     =|3(5/3)-1|+|5/3|+|5/3-1|>br/> =|4|+||5/3|+|2/3|
     =4+5/3+2/3
     =19/3 ≠ 3
     Tidak memenuhi untuk |3x-1|+|x|+|x-1| bernilai 3, sehingga x>=5/3 tidak merupakan himpunan penyelesaian
   
   
4. (3x-1)-(x)-(x-1)>=3
   3x-1-x-x+1>=3
   x>=3
   
   Subst. x>=3 ke |3x-1|+|x|+|x-1| untuk memeriksa apakah x>=1 memenuhi pertidaksamaan |3x-1|+|x|+|x-1|>=3
   
   • Untuk x=3
     |3x-1|+|x|+|x-1|
     =|3(3)-1|+|3|+|3-1|
     =|8|+|3|+|2|
     =8+3+2
     =13
     Tidak memenuhi untuk |3x-1|+|x|+|x-1| bernilai 3, sehingga x>=3 tidak merupakan himpunan penyelesaian
   
   
5. -(3x-1)+(x)+(x-1)>=3
   -3x+1+x+x-1>=3
   -x>=3
   x<=-3
   Dari poin (4) seudah dibuktikan bahwa x=3 tidak memenuhi pertidaksamaan |3x-1|+|x|+|x-1| bernilai 3, sehingga x<=3 tidak merupakan himpunan penyelesaian


6. -(3x-1)+(x)-(x-1)>=3
   -3x+1+x-x+1>=3
   -3x>=1
   -x>=1/3
   x<=-1/3
   
   Subst. x<=-1/3 ke |3x-1|+|x|+|x-1| untuk memeriksa apakah x<=-1/3 memenuhi pertidaksamaan |3x-1|+|x|+|x-1|>=3
   
   • Untuk x=-1/3
     |3x-1|+|x|+|x-1|
     =|3(-1/3)-1|+|-1/3|+|-1/3-1|
     =|-2|+|-1/3|+|-4/3|
     =2+1/3+4/3
     =11/3 ≠ 3
     Tidak memenuhi untuk |3x-1|+|x|+|x-1| bernilai 3, sehingga x<=-1/3 tidak merupakan himpunan penyelesaian
   
   
7. -(3x-1)-(x)+(x-1)>=3
   -3x+1-x+x-1>=3
   -3x-3>=0
   -3(x+1)>=0
   -(x+1)>=0
   x+1<=0
   x<=-1
   
   Subst. x<=-1 ke |3x-1|+|x|+|x-1| untuk memeriksa apakah x<=-1/3 memenuhi pertidaksamaan |3x-1|+|x|+|x-1|>=3
   
   • Untuk x=-1
     |3x-1|+|x|+|x-1|
     =|3(-1)-1|+|-1|+|-1-1|
     =|-4|+|-1|+|-2|
     =4+1+2
     =7 ≠ 3
     Tidak memenuhi untuk |3x-1|+|x|+|x-1| bernilai 3, sehingga x<=-1 tidak merupakan himpunan penyelesaian
   
   
8. -(3x-1)-(x)-(x-1)>=3
   -3x+1-x-x+1>=3
   -5x>=1
   -x>=1/5
   x<=-1/5
   
   Subst. x<=-1/5 ke |3x-1|+|x|+|x-1| untuk memeriksa apakah x<=-1/3 memenuhi pertidaksamaan |3x-1|+|x|+|x-1|>=3
   
   • Untuk x=-1/5
     |3x-1|+|x|+|x-1|
     =|3(-1/5)-1|+|-1/5|+|-1/5-1|
     =8/5+1/5+6/5
     =15/5
     =3
     (*) x=-1/5 memenuhi untuk |3x-1|+|x|+|x-1|=3
   • Untuk x<-1/5 (misal ambil x=-1)
     |3x-1|+|x|+|x-1|
     =|3(-1)-1|+|-1|+|-1-1|
     =|-4|+|-1|+|-2|
     =4+1+2
     =7 > 3
     (**) x<-1/5 memenuhi untuk |3x-1|+|x|+|x-1|>3

Dari poin (1) s.d. (8) didapat bahwa Himpunan Penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan |3x-1|+|x|+|x-1|>=3 adalah poin (1) dan poin (8). Jadi Himpunan Penyelesaian dari pertidaksamaan |3x-1|+|x|+|x-1|>=3 adalah: x<=-1/5 dan x>=1

Lihat contoh pembahasan soal lainnya di sini

Posted in: